Queteletova - Dandelinova věta pro elipsu:
Věta vlastně ukazuje ekvivalenci ohniskové a Apolloniovy definice elipsy: |
| Jestliže rovina ρ protíná všechny povrchové přímky rotační kuželové plochy K, není kolmá k její ose a neprochází vrcholem, je průnikem K ∩ ρ elipsa (ve smyslu ohniskové definice). Ohnisky této elipsy jsou body dotyku kulových ploch, které jsou vepsány kuželové ploše K, s rovinou ρ. |
Důkaz:
|
| 1) Celý důkaz je založen na základním triku - tečny z bodu M ke kulové ploše (tj. úsečky MT, kde bod T je bod dotyku přímky a kulové plochy) jsou shodné. |
2) Vepišme kuželové ploše kulové plochy tak, aby se dotýkaly řezové roviny v bodech E,F.
3) Zvolme libovolný bod řezu X.
4) |EX| = |ZX| a |FX| = |HX|.
5) Tudíž |EX| + |FX| = |HZ|.
6) Ale |HZ| je pro libovolný bod řezu konstantní, takže platí |EX| + |FX| = konst.
7)
Bod řezu X leží tedy na elipse s ohnisky E,F a hlavní poloosou |HZ|. |
|
 |
|
8) Označme |HZ| = 2a (= |UP| = |WQ)|
9) Nejnižší a nejvyšší bod řezu označme A a B.
10) Nyní ukážeme, že |HZ| = |AB| a body A a B jsou tedy hlavní vrcholy:
11) Shodně obarvené úsečky v obrázku vpravo mají stejnou délku. (viz bod 1))
|
12) x + m = y + z
13) x + z = y + m
14) sečtením: 2x + (m + z) = 2y + (m + z) → x = y
15) |AB| = x + m = y + m = 2a |
| Zatím jsme tedy dokázali, že každý bod X řezu leží na elipse s ohnisky E,F a hlavní osou |AB| = 2a, kde A a B jsou hlavní vrcholy a jsou to nejvyšší a nejnižší bod řezu.
Nyní ukážeme, že žádný bod Y řezové roviny, který není bodem řezu (neleží na kuželové ploše), není bodem této elipsy. Tím prokážeme ekvivalenci množin "ELIPSA" a "ŘEZ": |
|
16) Leží-li bod Y v řezové rovině a neleží na kuželové ploše, pak platí:
|EY| + |FY| < 2a nebo |EY| + |FY| > 2a, neboť platí:
17) |EY| + |FY| < |EX| + |FX| nebo |EY| + |FY| > |EX| + |FX|.
Tím je ekvivalence Apolloniovy a ohniskové definice dokázána. |