Aplety v programu GeoGebra

Uvažujme kvadratickou funkci , kde a přitom z je proměnná a c je pevně zvolený parametr. V Gaussově rovině vybereme počáteční hodnotu (seed = semeno) a začneme počítat iterace funkce:

Dostáváme nekonečnou posloupnost komplexních čísel , která se nazývá orbit. Tato posloupnost je buď omezená, nebo není omezená (její členy rostou nade všechny meze). Každý bod Gaussovy roviny má tedy svůj orbit, který je buď omezený, nebo není omezený. Všechny body Gaussovy roviny proto můžeme rozdělit do dvou množin:
1) Množina všech bodů , jejichž orbit je posloupnost, která není omezená (UPRCHLÍCI) - nazývá se Fatouova množina .
2) Množina všech bodů , jejichž orbit je posloupnost, která je omezená (VĚZNI) - nazývá se Vyplněná Juliova množina .
Vyplněná Juliova množina má hranici, která se nazývá prostě a jednoduše Juliova množina . (Pro daný parametr c)
Pro každou hodnotu komplexního parametru c dostáváme samostatnou Juliovu množinu. Juliových množin je proto nekonečně mnoho. (Ale pro moc velká c už jsou pak prázdné).

V následujícím apletu můžeme myší nejprve zvolit pevnou hodnotu parametru c a potom posouvat počátečním bodem (semenem) a sledovat 100 jeho dalších iterací, které jsou propojené úsečkami. Vidíme, že pro některá semena utíkají členy orbitu rychle mimo obrazovku a pro jiná semena zůstávají jeho iterace v jeho okolí. Jak rozhodnout, zda je daná posloupnost omezená či ne?

Existuje kriterium útěku - pokud některý člen orbitu překročí kruh o poloměru 2, je daný orbit neomezený a příslušné semeno patří do množiny . O takovém bodu máme tedy stoprocentní jistotu, že nepatří do vyplněné Juliovy množiny (a tím ani do Juliovy množiny ). Ale jak najít body, které do Juliovy množiny (nebo jejího vnitřku) patří? To už je ptoblém, protože, abychom měli stoprocentní jistotu, museli bychom vypočítat nekonečně mnoho iterací, což není možné. V tomto apletu je 100 iterací. Pokud ani po 100 iteracích nepřekročí členy orbitu kruh o poloměru 2, můžeme je považovat za kandidáty na body vyplněné Juliovy množiny a můžeme je obarvit (v apletu světle modrá). Ale víme, že se mezi nimi skrývají body, které by kruh překročily až třeba po 150. iteraci. Proto je náš obrázek Juliovy vyplněné množiny jen přibližný a obsahuje i body, které tam nepatří. Postupným zvyšováním počtu iterací by docházelo k odhalování lžibodů, které do obrázku nepatří a k jeho postupnému zpřesňování. Při nekonečném počtu iterací bychom po nekonečně dlouhém výpočtu dostali absolutně přesný obraz Juliovy množiny, která by měla (s výjimkou dvou jednoduchých případů - viz dále) nekonečně složitý tvar s fraktální strukturou.